"Tot de oneindigheid en verder!"
Heb je zelfs diep nagedacht over de beroemde slogan van Buzz Lightyear uit de "Toy Story" -films? Waarschijnlijk niet. Maar misschien heb je wel eens naar de nachtelijke hemel gekeken en je afgevraagd over de aard van oneindigheid zelf.
Oneindigheid is een raar concept, een idee dat het menselijk brein moeilijk vindt om zijn beperkte begrip eromheen te wikkelen. We zeggen dat het universum oneindig kan zijn, maar kan het echt gewoon voor altijd doorgaan? Of de cijfers van pi na het decimaal - lopen ze eigenlijk eindeloos door, waardoor we altijd zoveel meer precisie hebben over de verhouding tussen de omtrek en straal van een cirkel? En, kan Buzz gelijk hebben? Is er iets dat oneindig is?
Om deze geestverruimende speculaties aan te pakken, schakelde WordsSideKick.com de hulp in van wiskundige Henry Towsner van de Universiteit van Pennsylvania in Philadelphia, die zo vriendelijk was om te proberen de vraag te beantwoorden: 'Kun je de oneindigheid uit het verleden tellen?' (Wees gewaarschuwd: dit wordt lastig.)
Infinity, zei Towsner, zit op een vreemde plek: de meeste mensen hebben het gevoel dat ze enige intuïtie hebben over het concept, maar hoe meer ze erover nadenken, hoe vreemder het wordt.
Wiskundigen daarentegen beschouwen oneindigheid niet vaak als een concept op zichzelf, voegde hij eraan toe. Ze gebruiken eerder verschillende manieren om erover na te denken om de vele aspecten ervan te begrijpen.
Zo zijn er oneindig verschillende formaten. Dit werd bewezen door de Duitse wiskundige Georg Cantor aan het einde van de 19e eeuw, volgens een geschiedenis van de University of St Andrews in Schotland.
Cantor wist dat de natuurlijke getallen - dat wil zeggen hele positieve getallen zoals 1, 4, 27, 56 en 15.687 - voor altijd doorgaan. Ze zijn oneindig, en ze zijn ook wat we gebruiken om dingen te tellen, dus definieerde hij ze als 'telbaar oneindig', volgens een handige site over geschiedenis, wiskunde en andere onderwerpen van educatieve cartoonist Charles Fisher Cooper.
Groepen van oneindig veel getallen hebben enkele interessante eigenschappen. Zo zijn de even getallen (2, 4, 6, etc.) ook oneindig te tellen. En hoewel er technisch gezien de helft minder zijn dan de volledige reeks natuurlijke getallen, zijn ze nog steeds hetzelfde soort oneindig.
Met andere woorden, u kunt alle even getallen en alle natuurlijke getallen naast elkaar plaatsen in twee kolommen en beide kolommen gaan naar oneindig, maar ze hebben dezelfde "lengte" van oneindigheid. Dat betekent dat de helft van de telbare oneindigheid nog steeds oneindig is.
Maar het grote inzicht van Cantor was om te beseffen dat er andere reeksen getallen waren die oneindig oneindig waren. De reële getallen - die zowel de natuurlijke getallen als breuken en irrationele getallen zoals pi bevatten - zijn oneindig meer dan de natuurlijke getallen. (Als je wilt weten hoe Cantor het heeft gedaan en wat wiskundige notatie kan verwerken, kun je dit werkblad van de University of Maine bekijken.)
Als u alle natuurlijke getallen en alle reële getallen naast elkaar in twee kolommen zou plaatsen, zouden de reële getallen de oneindigheid van de natuurlijke getallen overschrijden. Cantor werd later gek, waarschijnlijk om redenen die niets met zijn werk over oneindigheid te maken hadden, aldus Cooper.
Wat telt er?
Dus, terug naar de kwestie van het tellen van de oneindigheid uit het verleden. 'Wat de wiskunde je doet vragen, is:' Wat betekent dat eigenlijk? ', Zei Towsner. 'Wat bedoel je met het tellen van de oneindigheid uit het verleden?'
Om op de kwestie in te gaan, sprak Towsner over de rangnummers. In tegenstelling tot kardinale getallen (1, 2, 3 enzovoort), die u vertellen hoeveel dingen er in een set zitten, worden de ordinalen bepaald door hun posities (eerste, tweede, derde, enz.), En ze werden ook geïntroduceerd in de wiskunde door Cantor, volgens de wiskunde-website Wolfram MathWorld.
In de rangnummers staat een concept dat omega wordt genoemd, aangeduid met de Griekse letter ω, zei Towsner. Het symbool ω wordt gedefinieerd als het ding dat komt na alle andere natuurlijke getallen - of, zoals Cantor het noemde, de eerste transfinite ordinal.
Maar een van de dingen met cijfers is dat je aan het einde altijd nog een kunt toevoegen, zei Towsner. Er bestaat dus zoiets als ω + 1, en ω + 2 en zelfs ω + ω. (Als je het je afvraagt, raak je uiteindelijk een nummer genaamd ω1, dat bekend staat als de eerste ontelbare ordinale.)
En aangezien tellen een beetje lijkt op het toevoegen van extra getallen, kunt u met deze concepten op een bepaalde manier tot in het oneindige tellen, zei Towsner.
De vreemdheid van dit alles is een deel van de reden waarom wiskundigen erop staan hun termen strikt te definiëren, voegde hij eraan toe. Tenzij alles in orde is, is het moeilijk om onze normale menselijke intuïtie te scheiden van wat wiskundig bewezen kan worden.
'De wiskunde zegt je:' Introspect diep, wat telt? ', Zei Towsner.
Voor ons gewone stervelingen kunnen deze ideeën moeilijk te berekenen zijn. Hoe gaan werkende wiskundigen precies om met al deze grappige zaken in hun dagelijkse onderzoek?
'Veel ervan is oefenen', zei Towsner. "Je ontwikkelt nieuwe intuïties met belichting, en wanneer intuïtie faalt, kun je zeggen: 'We hebben het over dit exacte stapsgewijze rigoureuze bewijs.' Dus als dit bewijs verrassend is, kunnen we nog steeds controleren of het juist is, en dan leren om daar een nieuwe intuïtie te ontwikkelen. "
