Wiskundigen hebben een groot nieuw bewijsmateriaal blootgelegd voor een van de beroemdste onbewezen ideeën in de wiskunde, bekend als het tweelingprime-vermoeden. Maar de weg die ze namen om dat bewijs te vinden, zal waarschijnlijk niet helpen om het tweelingprime-vermoeden zelf te bewijzen.
Bij het tweelingprime-vermoeden gaat het erom hoe en wanneer priemgetallen - cijfers die alleen door zichzelf en 1 deelbaar zijn - op de getallenlijn verschijnen. "Tweelingprimes" zijn priemgetallen die op die lijn twee stappen van elkaar verwijderd zijn: 3 en 5, 5 en 7, 29 en 31, 137 en 139, enzovoort. Het tweelingprime-vermoeden stelt dat er oneindig veel tweelingpriemgetallen zijn en dat je ze zult blijven tegenkomen, ongeacht hoe ver je langs de getallenlijn gaat. Het stelt ook dat er oneindig veel priemparen zijn met elke andere mogelijke opening ertussen (priemparen die vier stappen van elkaar verwijderd zijn, acht stappen van elkaar verwijderd, 200.000 stappen van elkaar verwijderd, enz.). Wiskundigen zijn er vrij zeker van dat dit waar is. Het lijkt er zeker op dat het waar is. En als het niet waar was, zou het betekenen dat priemgetallen niet zo willekeurig zijn als iedereen dacht, wat veel ideeën zou verpesten over hoe getallen in het algemeen werken. Maar niemand heeft het ooit kunnen bewijzen.
Ze zijn misschien nu dichterbij dan ooit tevoren. In een paper gepubliceerd op 12 augustus in het preprint-tijdschrift arXiv, zoals Quanta voor het eerst meldde, bewezen twee wiskundigen dat het tweelingprime-vermoeden waar is - althans in een soort alternatief universum.
Dit is wat wiskundigen doen: werken aan grote bewijzen door onderweg kleinere ideeën te bewijzen. Soms kunnen de lessen die uit die kleinere bewijzen zijn geleerd, helpen met het grotere bewijs.
In dit geval bewezen wiskundigen Will Sawin van Columbia University en Mark Shusterman van de University of Wisconsin een versie van het tweelingprime-vermoeden voor het alternatieve universum van "eindige velden": getallensystemen die niet oneindig worden zoals de getallenlijn, maar in plaats daarvan terug te lopen op zichzelf.
Waarschijnlijk kom je elke dag een eindig veld tegen op een klok. Het gaat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 en loopt dan terug naar 1. In dat eindige veld is 3 + 3 nog steeds gelijk aan 6. Maar 3 + 11 = 2.
Eindige velden hebben polynomen, of uitdrukkingen als "4x" of "3x + 17x ^ 2-4", vertelde Sawin aan WordsSideKick.com, net als gewone getallen. Wiskundigen, zei hij, hebben geleerd dat polynomen over eindige velden zich veel gedragen als gehele getallen - de hele getallen op de getallenlijn. Verklaringen die waar zijn over gehele getallen hebben de neiging ook vertrouwen te hebben in veeltermen over eindige velden, en omgekeerd. En net zoals priemgetallen in paren komen, komen polynomen in paren. De tweeling van 3x + 17x ^ 2-4 is bijvoorbeeld 3x + 17x ^ 2-2 en 3x + 17x ^ 2-6. En het leuke van polynomen, zei Sawin, is dat ze, in tegenstelling tot gehele getallen, geometrische vormen maken wanneer je ze in een grafiek uitzet. 2x + 1 maakt bijvoorbeeld een grafiek die er als volgt uitziet:
En 5x + x ^ 2 maakt een grafiek die er als volgt uitziet:
Omdat polynomen vormen in kaart brengen, in plaats van de punten die u krijgt wanneer u individuele priemgetallen tekent, kunt u geometrie gebruiken om dingen over polynomen te bewijzen die u niet kunt bewijzen over eenvoudige gehele getallen.
"We waren niet de eerste mensen die opmerkten dat je geometrie kunt gebruiken om eindige velden te begrijpen," vertelde Shusterman aan WordsSideKick.com.
Andere onderzoekers hadden kleinere versies van de hypothese van de dubbele priemgetallen bewezen over bepaalde soorten polynomen over eindige velden. Maar het bewijs van Sawin en Shusterman vereiste dat de onderzoekers teruggingen en in veel opzichten opnieuw begonnen, zei Sawin.
"We hadden een waarneming die ons in staat stelde een truc uit te voeren ... die de geometrie veel mooier maakte, zodat ze in al deze gevallen van toepassing is", zei Shusterman.
Die geometrische truc, zei hij, leidde tot hun doorbraak: het bewijs dat deze speciale versie van het tweelingprime-vermoeden opgaat voor alle polynomen over eindige velden, niet alleen voor sommige.
Het slechte nieuws, zei Sawin, is dat omdat hun truc sterk afhankelijk is van geometrie, het waarschijnlijk niet mogelijk zal zijn om het te gebruiken om het tweelingprime-vermoeden zelf te bewijzen. De onderliggende wiskunde is gewoon te verschillend.
Toch, zei Shusterman, bewijst dat de zaak van de eindige velden een groot nieuw bewijs is om aan de stapel toe te voegen, waardoor wiskundigen worden geplaagd met de mogelijkheid dat het bewijs waar iedereen op wacht ergens daar is.
Het is alsof ze de top van een hoge steile berg wilden zien en in plaats daarvan een andere berg in de buurt ophaalden. Ze kunnen de verre piek bijna zien, maar deze is gehuld in wolken. En de route die ze namen om de top van de tweede berg te bereiken, zal waarschijnlijk niet werken op de berg waarin ze echt geïnteresseerd zijn.
Shusterman zei dat hij hoopt met Sawin te blijven werken aan het probleem met de dubbele priemgetallen, en dat het altijd mogelijk is dat iets dat ze hebben geleerd bij het maken van dit bewijs belangrijk zal blijken te zijn om het tweelingprime-vermoeden te bewijzen.
