Het getal phi, vaak bekend als de gulden snede, is een wiskundig concept waarvan mensen al sinds de tijd van de oude Grieken op de hoogte waren. Het is een irrationeel getal zoals pi en e, wat betekent dat de termen voor altijd achter de komma blijven staan zonder te herhalen.
Door de eeuwen heen is er veel kennis opgebouwd rond phi, zoals het idee dat het perfecte schoonheid vertegenwoordigt of uniek is in de natuur. Maar veel daarvan heeft in werkelijkheid geen basis.
Definitie van phi
Phi kan worden gedefinieerd door een stok te nemen en deze in twee delen te breken. Als de verhouding tussen deze twee delen hetzelfde is als de verhouding tussen de totale stok en het grotere segment, zouden de delen de gulden snede hebben. Dit werd voor het eerst beschreven door de Griekse wiskundige Euclid, hoewel hij het "de verdeling in extreme en gemiddelde ratio" noemde, volgens wiskundige George Markowsky van de Universiteit van Maine.
Je kunt phi ook zien als een getal dat kan worden gekwadrateerd door er zelf een aan dat getal toe te voegen, volgens een uitlegger van wiskundige Ron Knott van de University of Surrey in het Verenigd Koninkrijk, dus phi kan als volgt worden uitgedrukt:
phi ^ 2 = phi + 1
Deze representatie kan worden herschikt in een kwadratische vergelijking met twee oplossingen, (1 + √5) / 2 en (1 - √5) / 2. De eerste oplossing levert het positieve irrationele getal 1.6180339887 op… (de stippen betekenen dat de cijfers voor altijd doorgaan) en dit is algemeen bekend als phi. De negatieve oplossing is -0.6180339887 ... (merk op hoe de cijfers achter de komma hetzelfde zijn) en wordt ook wel kleine phi genoemd.
Een laatste en nogal elegante manier om phi weer te geven is als volgt:
5 ^ 0.5 * 0.5 + 0.5
Dit is vijf verhoogd tot de helft, maal de helft, plus de helft.
Phi is nauw verbonden met de Fibonacci-reeks, waarin elk volgend nummer in de reeks wordt gevonden door de twee voorgaande getallen bij elkaar op te tellen. Deze reeks gaat 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 enzovoort. Het wordt ook geassocieerd met veel misvattingen.
Door de verhouding van opeenvolgende Fibonacci-getallen te nemen, kunt u steeds dichter bij phi komen. Interessant is dat als je de Fibonacci-reeks achterwaarts uitbreidt - dat wil zeggen vóór de nul en in negatieve getallen - de verhouding van die getallen je dichter en dichter bij de negatieve oplossing brengt, kleine phi −0.6180339887 ...
Bestaat de gulden snede in de natuur?
Hoewel mensen al lang van phi op de hoogte zijn, heeft het pas de afgelopen eeuwen veel bekendheid gekregen. De Italiaanse wiskundige uit de Renaissance, Luca Pacioli, schreef in 1509 een boek genaamd "De Divina Proportione" ("The Divine Proportione") dat Phi besprak en populair maakte, volgens Knott.
Pacioli gebruikte tekeningen gemaakt door Leonardo da Vinci waarin phi was verwerkt, en het is mogelijk dat da Vinci de eerste was die het de "sectio aurea" noemde (Latijn voor de "gulden snede"). Pas in de 19e eeuw gebruikte de Amerikaanse wiskundige Mark Barr de Griekse letter Φ (phi) om dit getal te vertegenwoordigen.
Zoals blijkt uit de andere namen voor het aantal, zoals de goddelijke verhouding en gulden snede, zijn veel wonderbaarlijke eigenschappen toegeschreven aan phi. Romanschrijver Dan Brown nam een lange passage op in zijn bestseller "The Da Vinci Code" (Doubleday, 2000), waarin de hoofdpersoon bespreekt hoe phi het schoonheidsideaal vertegenwoordigt en door de geschiedenis heen te vinden is. Nuchtere geleerden ontkennen routinematig dergelijke beweringen.
Zo zeggen phi-enthousiasten vaak dat bepaalde afmetingen van de Grote Piramide van Gizeh, zoals de lengte van de basis en / of de hoogte, in de gulden snede zijn. Anderen beweren dat de Grieken phi gebruikten bij het ontwerpen van het Parthenon of in hun prachtige beeldhouwwerk.
Maar zoals Markowsky opmerkte in zijn paper uit 1992 in het College Mathematics Journal, getiteld "Misvattingen over de gulden snede": "metingen van echte objecten kunnen slechts benaderingen zijn. Oppervlakken van echte objecten zijn nooit perfect vlak." Hij schreef verder dat onnauwkeurigheden in de nauwkeurigheid van metingen tot grotere onnauwkeurigheden leiden wanneer die metingen in verhoudingen worden geplaatst, dus claims over oude gebouwen of kunst die aan phi voldoen, moeten met een zware korrel zout worden genomen.
De afmetingen van architectonische meesterwerken worden vaak dicht bij phi genoemd, maar zoals Markowsky al zei, betekent dit soms dat mensen gewoon op zoek zijn naar een verhouding die 1.6 oplevert en die phi noemen. Het vinden van twee segmenten met een verhouding van 1,6 is niet bijzonder moeilijk. Waar men voor kiest om vanaf te meten, kan willekeurig zijn en indien nodig worden aangepast om de waarden dichter bij phi te krijgen.
Pogingen om phi in het menselijk lichaam te vinden, bezwijken ook voor soortgelijke drogredenen. Een recente studie beweerde de gulden snede in verschillende verhoudingen van de menselijke schedel te vinden. Maar zoals Dale Ritter, de leidende instructeur van de menselijke anatomie voor Alpert Medical School (AMS) aan de Brown University in Rhode Island, vertelde WordsSideKick.com:
"Ik geloof dat het overkoepelende probleem met dit artikel is dat er heel weinig (misschien geen) wetenschap in zit ... met zoveel botten en zoveel aandachtspunten op die botten, zou ik me voorstellen dat er op zijn minst een paar zouden zijn" gouden verhoudingen elders in het menselijk skelet.
En hoewel phi veel voorkomt in de natuur, is de betekenis ervan overdreven. Bloemblaadjes komen vaak voor in Fibonacci-getallen, zoals vijf of acht, en dennenappels groeien hun zaden naar buiten in spiralen van Fibonacci-getallen. Maar er zijn net zoveel planten die deze regel niet volgen als degenen die dat wel doen, vertelde Keith Devlin, een wiskundige aan de Stanford University, aan WordsSideKick.com.
Mensen hebben beweerd dat zeeschelpen, zoals die van de nautilus, eigenschappen vertonen waarin phi op de loer ligt. Maar zoals Devlin op zijn website opmerkt, 'groeit de nautilus wel op een manier die een logaritmische spiraal volgt, dat wil zeggen een spiraal die over de hele lengte met een constante hoek draait, waardoor hij overal op zichzelf lijkt. Maar die constante hoek is niet de gulden snede. Jammer, ik weet het, maar daar is het. "
Hoewel phi zeker een interessant wiskundig idee is, zijn het wij mensen die belang hechten aan dingen die we in het universum vinden. Een advocaat die door een phi-gekleurde bril kijkt, ziet misschien overal de gulden snede. Maar het is altijd handig om buiten een bepaald perspectief te stappen en te vragen of de wereld echt voldoet aan ons beperkte begrip ervan.
