Mijn gevoel voor fysica vertelt me dat de snelheid van het weggooien de ontsnappingssnelheid is.
Deze minimalisatie werkt mogelijk beter met een verhouding van de totale energieverandering van het asteroïdesysteem plus uitgestoten materiaal tot de energie van het uitgestoten materiaal. De raketvergelijking helpt daarbij. De raketvergelijking is een behoud van het momentumresultaat
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
waar V de reactiemassasnelheid is,? v en? m is de verandering in snelheid en massaverlies van de "raket", of in dit geval de asteroïde, en m en v zijn de initiële massa en snelheid van het object. We stellen v = 0 in en krijgen
? v = V (? m / m)
en de snelheid die omhoog is geïntegreerd is v = V ln (m_i / m_f), voor m_i de beginmassa en m_f de eindmassa. Als de massaverandering klein is, hebben we
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
en het momentum van de asteroïde aan het einde is p ~ = V (m_i - m_f). We laten nu V = u - v_e, voor v_e de ontsnappingssnelheid en u de snelheid van het afgeworpen object. Dit betekent dat V de snelheid is van het afgeworpen object 'op oneindig'.
Stel nu dat we de kinetische energie van de asteroïde K = (1/2) p ^ 2 / m_f willen minimaliseren voor een gegeven afwerpende kinetische energie E = (1/2)? Mu ^ 2. We construeren een dimensieloze verhouding,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
Trouwens, het is belangrijk om te werken met een dimensieloze verhouding. Dus we minimaliseren dit voor een gegeven? M en berekenen de u. Dus we minimaliseren
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
en dit is nul bij v_e = u. Dit lijkt een beetje vreemd gezien de formule van de raketvergelijking, maar ik zal dat hieronder bespreken.
We nemen dan de tweede afgeleide om te bepalen of dit een max of min is en we krijgen
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2-2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
wat bij u = v_e -2 <0 is en dus een min, wat we willen. Het is ook duidelijk dat u = v_e de minimale kinetische energie is die we aan de massa kunnen geven.
Het klinkt vreemd dat we v ~ = V (m_i / m_f - 1) hebben, wat voor V = u - v_e nul is bij u = v_e. Echter, voor u = v_e beweegt de asteroïde naar buiten totdat het afgeworpen object oneindig is. Het doel hiervan is om een verplaatsing van de asteroïde te creëren, en naarmate het afgeworpen object "oneindig" bereikt, zal de asteroïde enige verplaatsingsafstand verwijderd zijn.
LC
