Heeft een team van wiskundigen een grote stap gezet in de beantwoording van een 160 jaar oude vraag van een miljoen dollar in de wiskunde?
Kan zijn. De bemanning loste een aantal andere, kleinere vragen op in een veld dat getaltheorie wordt genoemd. En daarmee hebben ze een oude weg heropend die uiteindelijk zou kunnen leiden tot een antwoord op de oude vraag: is de Riemann-hypothese correct?
De Reimann-hypothese is een fundamenteel wiskundig vermoeden dat enorme implicaties heeft voor de rest van de wiskunde. Het vormt de basis voor veel andere wiskundige ideeën - maar niemand weet of het waar is. De geldigheid ervan is een van de bekendste open vragen in de wiskunde geworden. Het is een van de zeven "millenniumproblemen" die in 2000 zijn opgesteld, met de belofte dat degene die ze oplost, $ 1 miljoen zal winnen. (Slechts één van de problemen is sindsdien opgelost.)
Waar komt dit idee vandaan?
In 1859 stelde een Duitse wiskundige genaamd Bernhard Riemann een antwoord voor op een bijzonder netelige wiskundige vergelijking. Zijn hypothese luidt als volgt: het echte deel van elke niet-triviale nul van de Riemann-zetafunctie is 1/2. Dat is een vrij abstracte wiskundige verklaring, die te maken heeft met welke getallen je in een bepaalde wiskundige functie kunt plaatsen om die functie gelijk aan nul te maken. Maar het blijkt veel uit te maken, vooral wat betreft vragen over hoe vaak je priemgetallen zult tegenkomen terwijl je naar oneindig telt.
We komen later terug op de details van de hypothese. Maar het belangrijkste om nu te weten is dat als de Riemann-hypothese waar is, deze veel vragen in de wiskunde beantwoordt.
"Zo vaak in de getaltheorie, wat er uiteindelijk gebeurt, is dat als je de Riemann-hypothese aanneemt, je dan allerlei andere resultaten kunt bewijzen", Lola Thompson, een getaltheoreticus aan het Oberlin College in Ohio, die er niet bij betrokken was in dit laatste onderzoek.
Vaak, vertelde ze aan WordsSideKick.com, zullen getaltheoretici eerst bewijzen dat iets waar is als de Riemann-hypothese waar is. Vervolgens gebruiken ze dat bewijs als een soort opstapje naar een ingewikkelder bewijs, waaruit blijkt dat hun oorspronkelijke conclusie waar is of de Riemann-hypothese al dan niet waar is.
Het feit dat deze truc werkt, zegt ze, overtuigt veel wiskundigen dat de Riemann-hypothese waar moet zijn.
Maar de waarheid is dat niemand het zeker weet.
Een kleine stap naar een bewijs?
Dus hoe leek dit kleine team van wiskundigen ons dichter bij een oplossing te brengen?
"Wat we in onze paper hebben gedaan," zei Ken Ono, een getaltheoreticus aan de Emory University en co-auteur van het nieuwe bewijs, "is dat we een zeer technisch criterium hebben herzien dat gelijkwaardig is aan de Riemann-hypothese ... en we hebben bewezen dat een grote deel van uit. We bewezen een groot deel van dit criterium. "
Een "criterium dat equivalent is aan de Riemann-hypothese", verwijst in dit geval naar een afzonderlijke verklaring die wiskundig equivalent is aan de Riemann-hypothese.
Het is op het eerste gezicht niet duidelijk waarom de twee verklaringen zo met elkaar verbonden zijn. (Het criterium heeft te maken met iets dat de 'hyperboliciteit van Jensen-polynomen' wordt genoemd.) Maar in de jaren twintig bewees een Hongaarse wiskundige genaamd George Pólya dat als dit criterium waar is, de Riemann-hypothese waar is - en omgekeerd. Het is een oude voorgestelde route om de hypothese te bewijzen, maar een die grotendeels was verlaten.
Ono en zijn collega's hebben in een paper dat op 21 mei is gepubliceerd in het tijdschrift Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS) bewezen dat het criterium in veel, vele gevallen waar is.
Maar in wiskunde is veel niet genoeg om als bewijs te gelden. Er zijn nog steeds gevallen waarin ze niet weten of het criterium waar of onwaar is.
'Het is alsof je een Powerball met een miljoen nummers speelt,' zei Ono. 'En je kent alle cijfers behalve de laatste 20. Als zelfs maar een van die laatste 20 cijfers verkeerd is, verlies je.… Het kan toch allemaal uit elkaar vallen.'
Onderzoekers zouden met een nog geavanceerder bewijs moeten komen om aan te tonen dat het criterium in alle gevallen waar is, waarmee de Riemann-hypothese wordt bewezen. En het is niet duidelijk hoe ver zo'n bewijs weg is, zei Ono.
Dus, hoe belangrijk is dit papier?
In termen van de Riemann-hypothese is het moeilijk te zeggen hoe groot dit is. Veel hangt af van wat er daarna gebeurt.
'Dit is slechts een van de vele gelijkwaardige formuleringen van de Riemann-hypothese', zei Thompson.
Met andere woorden, er zijn veel andere ideeën die, net als dit criterium, zouden bewijzen dat de Riemann-hypothese waar is als ze zelf waren bewezen.
"Dus, het is echt moeilijk om te weten hoeveel vooruitgang dit is, omdat het enerzijds vooruitgang heeft geboekt in deze richting. Maar er zijn zoveel gelijkwaardige formuleringen dat deze richting misschien niet de Riemann-hypothese oplevert. Misschien een van de andere gelijkwaardige stellingen zullen daarentegen, als iemand een daarvan kan bewijzen, 'zei Thompson.
Als het bewijs langs dit spoor opduikt, betekent dat waarschijnlijk dat Ono en zijn collega's een belangrijk onderliggend raamwerk hebben ontwikkeld voor het oplossen van de Riemann-hypothese. Maar als het ergens anders opduikt, dan blijkt deze paper minder belangrijk te zijn geweest.
Toch zijn wiskundigen onder de indruk.
"Hoewel dit nog ver verwijderd is van het bewijzen van de Riemann-hypothese, is het een grote stap voorwaarts", schreef Encrico Bombieri, een Princeton-getaltheoreticus die niet betrokken was bij het onderzoek van het team, in een begeleidend PNAS-artikel van 23 mei. 'Het lijdt geen twijfel dat dit artikel verder fundamenteel werk zal inspireren op andere gebieden van de getaltheorie en in de wiskundige natuurkunde.'
(Bombieri won in 1974 een Fields-medaille - de meest prestigieuze prijs in de wiskunde), grotendeels voor werk in verband met de Riemann-hypothese.)
Wat betekent de Riemann-hypothese eigenlijk?
Ik had beloofd dat we hierop terug zouden komen. Hier is de Riemann-hypothese opnieuw: het echte deel van elke niet-triviale nul van de Riemann-zetafunctie is 1/2.
Laten we dat opsplitsen volgens hoe Thompson en Ono het hebben uitgelegd.
Ten eerste, wat is de Riemann zeta-functie?
In wiskunde is een functie een relatie tussen verschillende wiskundige grootheden. Een simpele kan er zo uitzien: y = 2x.
De Riemann zeta-functie volgt dezelfde basisprincipes. Alleen is het veel ingewikkelder. Hier is hoe het eruit ziet.
Het is een som van een oneindige reeks, waarbij elke term - de eerste paar zijn 1/1 ^ s, 1/2 ^ s en 1/3 ^ s - wordt toegevoegd aan de vorige termen. Die ellipsen betekenen dat de serie in de functie voor altijd zo blijft doorgaan.
Nu kunnen we de tweede vraag beantwoorden: wat is een nul van de Riemann zeta-functie?
Dit is makkelijker. Een "nul" van de functie is elk getal dat u voor x kunt invoeren, waardoor de functie gelijk is aan nul.
Volgende vraag: Wat is het "echte deel" van een van die nullen en wat betekent het dat het gelijk is aan 1/2?
De Riemann zetafunctie omvat wat wiskundigen "complexe getallen" noemen. Een complex getal ziet er als volgt uit: a + b * i.
In die vergelijking staan "a" en "b" voor echte getallen. Een reëel getal kan van alles zijn, van min 3 tot nul, tot 4,9234, pi of 1 miljard. Maar er is een ander soort nummer: denkbeeldige cijfers. Denkbeeldige getallen ontstaan wanneer je de vierkantswortel van een negatief getal neemt, en ze zijn belangrijk en verschijnen in allerlei wiskundige contexten.
Het eenvoudigste denkbeeldige getal is de vierkantswortel van -1, die wordt geschreven als "i". Een complex getal is een reëel getal ("a") plus een ander reëel getal ("b") keer i. Het "echte deel" van een complex getal is dat "a."
Een paar nullen van de Riemann-zetafunctie, negatieve gehele getallen tussen -10 en 0, tellen niet mee voor de Reimann-hypothese. Deze worden beschouwd als "triviale" nullen omdat het echte getallen zijn, geen complexe getallen. Alle andere nullen zijn "niet-triviale" en complexe getallen.
De Riemann-hypothese stelt dat wanneer de Riemann-zetafunctie nul overschrijdt (behalve die nullen tussen -10 en 0), het reële deel van het complexe getal gelijk moet zijn aan 1/2.
Die kleine bewering klinkt misschien niet erg belangrijk. Maar het is. En we zijn misschien net een klein beetje dichter bij het oplossen ervan.
